平方完成は、
「頂点を見つける」ために。

一番低い点を、式から知りたい

y=x²−6x+5のグラフは下に底がある放物線です。でも、元の式を眺めるだけでは一番低い点を読み取りにくく感じます。そこで「何かの二乗＋定数」という形に変えます。

実数を二乗した値は0以上です。二乗の部分が0になる場所を見つければ、最小値が分かるからです。

足した分を引き戻す

(x−3)²を展開するとx²−6x+9。元の最後の数は5なので、4だけ多くなっています。形を変えても、値は同じままにしなければいけません。

「−6の半分を二乗して足す」だけで終わると、値を増やしてしまいます。足した9を引き戻すので、定数は5−9=−4になります。

二乗が0になる場所が、底

(x−3)²≧0なので、y≧−4。二乗が0になるのはx=3。したがって頂点は(3,−4)です。横の3と、縦の−4を区別します。

ここではxは全ての実数です。例えば0≦x≦1に限るなら、x=3は使えません。その場合の最小は区間内で改めて調べます。

次につながるもの

頂点が分かると、定義域のある最大・最小、二次不等式、さらに微分による増減へつながります。物理で位置・速度・加速度をグラフで考えるときも、式と図を行き来する見方が役立ちます。